GAYA DAN PENERAPANNYA

Jika kamu perhatikan dengan saksama, banyak benda-benda yang ada di sekelilingmu tidak pernah diam. Di kotakota besar terlihat berbagai jenis kendaraan berlalu lalang di jalan raya. Di udara pesawat terbang melesat dari suatu tempat ke tempat lainnya. Bahkan di sungai atau di laut pun perahu-perahu melesat di permukaan air. Kamu tentu tahu bahwa kendaraan-kendaraan tersebut dikendalikan oleh mesin sehingga menghasilkan gaya, baik berupa dorongan atau tarikan, untuk menggerakkan kendaraan itu. Akan tetapi, bagaimanakah mesin menghasilkan gaya sehingga kendaraan dapat bergerak?

Selain itu, bagaimana dengan gerakan benda-benda dan gejala-gejala yang ada di alam? Mengapa angin bertiup dan air sungai mengalir? Mengapa bulan mengelilingi bumi dan bumi mengelilingi matahari? Apakah semua benda tersebut ditarik atau didorong dengan gaya?

A. Pengertian Gaya
Pernahkah kamu bermain ayunan? Bagaimanakah usahamu agar ayunan dapat berayun tinggi? Tentu kamu harus menggerakkan kaki dan badan sehingga ayunan dapat melayang semakin tinggi. Gerakan kaki dan badanmu adalah usaha dalam memberikan dorongan atau tarikan pada ayunan agar tetap berayun.

Ketika kamu menarik buku dan mendorong pensil di atas mejamu, ternyata buku dan pensil bergerak atau berpindah tempat. Begitu pula ketika kamu menarik kedua ujung penggarismu, tarikan mengubah bentuk penggaris menjadi melengkung. Tarikan dan dorongan yang kamu berikan pada benda disebut gaya. Apakah gaya yang kamu berikan memiliki arah? Tentu, gaya memiliki arah. Ketika kamu mendorong ke depan, benda pun akan bergerak ke depan. Jadi, gaya dapat dikatakan sebagai tarikan atau dorongan.

Gaya dapat menyebabkan sebuah benda berubah bentuk, berubah posisi, berubah kecepatan, berubah panjang atau volume, dan juga berubah arah. Sebuah gaya disimbolkan dengan huruf F singkatan dari Force. Satuan gaya dalam Satuan Internasional (SI) adalah Newton (N) yang merupakan penghormatan bagi seorang ilmuwan Fisika Inggris bernama Sir Isaac Newton (1642-1727).

B. Jenis-Jenis Gaya
Tuhan telah memberikan anugerah kepada kamu berupa otot sehingga setiap saat kamu dapat melakukan kerja. Misalnya mandi, makan, menulis, minum, atau mengangkat benda-benda. Semua kegiatan tersebut kamu lakukan dengan memberi tarikan dan dorongan pada benda-benda itu sehingga dapat berubah bentuk, kecepatan, panjang, atau arah. Ketika kamu mendorong sebuah mobil, kamu telah memberikan gaya. Dorongan tersebut menyebabkan mobil dapat bergerak dan berpindah tempat.

Gaya dibedakan menjadi dua jenis, yaitu gaya yang bekerja melalui sentuhan langsung dan gaya yang bekerja tidak melalui sentuhan langsung. Gaya yang bekerja melalui sentuhan langsung disebut gaya sentuh, sedangkan gaya yang bekerja tidak melalui sentuhan langsung disebut gaya tak sentuh. Adapun pengaruh gaya pada benda, antara lain dapat menggerakkan benda serta mengubah bentuk, kecepatan, dan arah gerak benda.

C. Mengukur Gaya
Ketika kamu memberikan tarikan atau dorongan pada sebuah benda, tentu kamu tidak tahu seberapa besar tarikan atau dorongan yang kamu berikan. Untuk dapat mengetahui besar gaya yang kamu berikan, diperlukan suatu alat ukur. Alat ukur gaya yang paling sederhana dan dapat mengukur secara langsung adalah neraca pegas (dinamometer).

D. Penjumlahan Gaya dan Pengaruhnya pada Benda
Apakah gaya memiliki arah? Coba kamu jatuhkan sebuah benda. Apakah yang terjadi? Ke arah manakah benda tersebut jatuh? Tariklah sebuah benda di mejamu. Ke manakah benda itu bergerak? Coba belokkan arah tarikanmu. Apakah arah gerak benda juga mengikuti gaya tariknya? Dari contoh tersebut, kamu dapat menyimpulkan bahwa gaya termasuk besaran yang memiliki nilai dan arah yang kamu kenal dengan besaran vektor. Sebuah besaran gaya dapat digambarkan dengan sebuah anak panah.

E. Gaya Gesek
Alangkah menyenangkan apabila kamu ke sekolah naik sepeda. Selain hemat biaya, kamu juga sehat karena berolah raga. Tetapi, kamu harus hati-hati karena banyak kendaraan di jalan raya. Ketika kamu sampai ke sekolah, tentu kamu akan menarik rem tangan agar sepeda tersebut dapat berjalan perlahan, lalu akhirnya berhenti.

Mengapa ketika kamu menarik rem, sepedamu dapat berhenti? Tentu ada tarikan atau dorongan yang berlawanan dengan arah gerakmu sehingga sepedamu berhenti. Di manakah itu terjadi? Ternyata, dorongan atau tarikan itu terjadi sebagai hasil gesekan antara karet rem dan pelek pada roda sepeda yang bergesekan. Gaya seperti ini disebut gaya gesek. Gaya gesek termasuk gaya sentuh karena hasil persentuhan langsung dua permukaan yang bergesekan.

Gaya gesek terjadi akibat dua permukaan benda saling bergesekan. Arah gaya gesek selalu melawan kecenderungan geraknya. Arah gaya gesek melawan gaya tariknya. Besarnya gaya gesek akan selalu sama dengan gaya tariknya ketika benda belum bergerak.

Gaya gesek tersebut dinamakan dengan gaya gesek statis. Jika kamu menarik dengan gaya 10 N dan balok tepat akan bergerak, besar gaya gesek adalah 10 N dan disebut dengan gaya gesek statis maksimum. Ketika kamu menariknya dengan gaya 6 N dan balok belum bergerak, besarnya gaya gesek statis adalah 6 N (belum mencapai maksimal).

1. Mengurangi Gaya Gesek
Besarnya gaya gesek bergantung pada kekasaran permukaan benda yang bergesekan. Semakin kasar permukaan yang bergesekan, semakin besar pula gaya gesek nya. Itulah yang menyebabkan kamu harus memakai alas sepatu yang bergerigi agar kamu dapat berjalan dengan mantap. Gaya gesek pun dapat terjadi di udara dan di air. Keadaan inilah yang membuat motor boat atau pesawat terbang selalu dirancang runcing di bagian depannya. Hal tersebut dilakukan untuk mengurangi gaya gesek air atau udara.

Pernahkah kamu berpikir mengapa sepedamu atau mobilmu menggunakan roda? Apakah manfaatnya? Perkembangan ilmu dan teknologi sedikit demi sedikit telah membantu manusia untuk mengetahui bagaimana cara mempermudah usaha. Salah satunya adalah memperkecil gaya gesek dengan menggunakan roda. Pada pekembangannya roda terbuat dari batu, lalu kayu sampai akhirnya terbuat dari ban karet pada zaman sekarang.

2. Gaya Gesek yang Menguntungkan dan Merugikan
Dalam kehidupan sehari-hari kamu tentu mengenal bahwa gaya gesek ada yang menguntungkan dan ada pula yang merugikan. Menguntungkan dan merugikannya gaya gesek bergantung pada keadaan. Misalnya, apabila kamu sedang berjalan, kamu tentu memilih permukaan yang kasar. Mengapa? Karena kamu akan kesulitan apabila berjalan di jalan yang licin. Dalam kejadian ini, gaya gesek menguntungkan bagi manusia. Mengapa ban mobil dibuat bergerigi? Tentu hal ini dibuat supaya mobil dapat bergerak dengan baik. Pada kejadian ini pun gaya gesek sangat menguntungkan. Namun, apabila jalannya terlalu kasar, ban mobil akan cepat habis sehingga hal ini merugikan secara ekonomi.

Roda gigi sepedamu harus terus dipelihara dengan cara memberinya pelumas. Mengapa hal itu kamu lakukan? Pada peristiwa tersebut gaya gesek merugikan atau menguntungkan? Apabila roda gigimu penuh karat, kamu akan sulit mengayuh sepeda. Hal tersebut membuktikan gaya gesek sangat merugikan sehingga untuk memperkecil gaya gesek kamu harus memberinya pelumas.

USAHA DAN ENERGI

Tahukah kamu bahwa tanpa energi yang diciptakan Tuhan tidak akan ada kehidupan. Matahari, angin, sungai, dan bahkan alam ini tidak akan ada. Energi terdapat di mana-mana dan dapat berubah dari satu bentuk ke bentuk lain. Energilah yang melatarbelakangi setiap kejadian. Jadi, apakah energi itu?

Semua makhluk hidup membutuhkan energi untuk kelangsungan hidup mereka. Tumbuhan dan hewan memperoleh energi dari alam untuk pertumbuhan dan kelestariannya. Manusia memanfaatkan energi yang berasal dari otot mereka untuk kegiatan sehari-hari seperti berjalan dan berlari. Manusia telah mengembangkan berbagai cara pemanfaatan energi yang tersedia untuk meningkatkan kualitas hidup mereka.

A. Pengertian Energi
Setiap saat manusia memerlukan energi yang sangat besar untuk menjalankan kegiatannya sehari-hari, baik untuk kegiatan jasmani maupun kegiatan rohani. Berpikir, bekerja, belajar, dan bernyanyi memerlukan energi yang besar. Kamu membutuhkan berjuta-juta kalori setiap harinya untuk melakukan kegiatan dalam kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu, disarankan setiap pagi sebelum berangkat sekolah, kamu harus makan terlebih dahulu. Dengan demikian, tubuhmu cukup energi untuk melakukan kegiatan di sekolah dan untuk menjaga kesehatanmu.

Ketika kamu sakit dan nafsu makanmu hilang, tubuhmu akan lemas karena energi dalam tubuhmu berkurang. Jika demikian, kegiatan rutin sehari-harimu akan terganggu bahkan kegiatan ibadahmu pun akan terganggu. Menurutmu, apakah energi itu?

Berdasarkan jawabanmu, kemampuan untuk melakukan sesuatu itulah yang disebut energi. Sesuatu itu dikatakan sebagai kerja atau usaha. Jadi, energi adalah kemampuan untuk melakukan kerja atau usaha. Satuan energi dalam Sistem Internasional (SI) adalah joule (J). Satuan energi dalam sistem yang lain adalah kalori, erg, dan kWh (kilo watt hours). Kesetaraan joule dengan kalor adalah sebagai berikut. 1 kalori = 4,2 joule atau 1 joule = 0,24 kalori

B. Bentuk-Bentuk Energi
Energi yang paling besar adalah energi matahari. Tuhan telah menciptakan Matahari khusus untuk kesejahteraan umat manusia. Jarak Matahari ke Bumi yang telah diatur pada jarak 149.600 juta kilometer memungkinkan energi panas yang diterima manusia di Bumi tidak membahayakan. Energi panas dari sinar matahari sangat bermanfaat bagi Bumi dan dapat menghasilkan energi-energi yang lain di muka Bumi ini. Caranya adalah dengan mengubah energi matahari menjadi energi yang lain, seperti energi kimia, energi listrik, energi bunyi, dan energi gerak.

1. Energi Kimia
Energi kimia adalah energi yang tersimpan dalam persenyawaan kimia. Makanan banyak mengandung energi kimia yang sangat bermanfaat bagi tubuh manusia. Energi kimia pun terkandung dalam bahan minyak bumi yang sangat bermanfaat untuk bahan bakar. Baik energi kimia dalam makanan maupun energi kimia dalam minyak bumi berasal dari energi matahari.

Energi cahaya matahari sangat diperlukan untuk proses fotosintesis pada tumbuhan sehingga mengandung energi kimia. Tumbuhan dimakan oleh manusia dan hewan sehingga mereka akan memiliki energi tersebut. Tumbuhan dan hewan yang mati milyaran tahun yang lalu menghasilkan minyak bumi. Energi kimia dalam minyak bumi sangat bermanfaat untuk menggerakkan kendaraan, alat-alat pabrik, ataupun kegiatan memasak.

2. Energi Listrik
Energi listrik merupakan salah satu bentuk energi yang paling banyak digunakan. Energi ini dipindahkan dalam bentuk aliran muatan listrik melalui kawat logam konduktor yang disebut arus listrik. Energi listrik dapat diubah menjadi bentuk energi yang lain seperti energi gerak, energi cahaya, energi panas, atau energi bunyi. Sebaliknya, energi listrik dapat berupa hasil perubahan energi yang lain, misalnya dari energi matahari, energi gerak, energi potensial air, energi kimia gas alam, dan energi uap.

3. Energi Panas
Sumber energi panas yang sangat besar berasal dari Matahari. Sinar matahari dengan panasnya yang tepat dapat membantu manusia dan makhluk hidup lainnya untuk hidup dan berkembang biak. Energi panas pun merupakan hasil perubahan energi yang lain, seperti dari energi listrik, energi gerak, dan energi kimia. Energi panas dimanfaatkan untuk membantu manusia melakukan usaha seperti menyetrika pakaian, memasak, dan mendidihkan air.

4. Energi Mekanik
Ketika kamu memerhatikan sebuah mangga yang bergantung di pohonnya, mungkin kamu mengharapkan buah mangga tersebut jatuh dari pohonnya. Mengapa buah mangga itu dapat jatuh dari pohonnya? Untuk melakukan kerja supaya dapat jatuh dari pohonnya, buah mangga harus memiliki energi. Energi apakah itu? Ketika buah mangga jatuh, dia bergerak ke bawah sampai mencapai tanah. Energi apakah yang terkandung ketika buah mangga bergerak jatuh?

Dari peristiwa tersebut terdapat dua buah jenis energi yang saling memengaruhi, yaitu energi yang diakibatkan oleh ketinggian dan energi karena benda bergerak. Energi akibat perbedaan ketinggian disebut energi potensial gravitasi, sedangkan energi gerak disebut energi kinetik (energi gerak). Energi mekanik merupakan penjumlahan dari energi potensial dan energi kinetik. Secara matematis persamaan energi mekanik dapat dituliskan sebagai berikut.
Em = Ep + Ek dengan:
Em = energi mekanik (J)
Ep = energi potensial (J)
Ek = energi kinetik (J)

a. Energi Potensial
Telah kamu ketahui bahwa energi potensial gravitasi adalah energi akibat perbedaan ketinggian. Apakah energi ini diakibatkan oleh ketinggian saja? Buah kelapa yang bergantung di pohonnya menyimpan suatu energi yang disebut energi potensial. Energi potensial yang dimiliki buah kelapa diakibatkan oleh adanya gaya tarik bumi sehingga jatuhnya selalu menuju ke pusat Bumi.

Energi potensial akibat gravitasi Bumi disebut energi potensial gravitasi. Energi potensial gravitasi pun bisa diakibatkan oleh tarikan benda-benda lain seperti tarikan antarplanet. Adapun energi potensial yang dimiliki suatu benda akibat pegas atau karet yang kamu regangkan disebut energi potensial pegas.

Energi potensial gravitasi dimiliki oleh benda yang berada pada ketinggian tertentu dari permukaan bumi. Energi potensial pegas muncul akibat adanya perbedaan kedudukan dari titik kesetimbangannya. Titik kesetimbangan adalah titik keadaan awal sebelum benda ditarik. Besarnya energi potensial gravitasi sebanding dengan ketinggian (h) dan massa benda (m). Ep h dan Ep m. Selain kedua besaran itu, energi potensial gravitasi dipengaruhi oleh percepatan gravitasi (g) sehingga dapat dibuat persamaan energi potensial gravitasi sebagai berikut.
Ep = mgh dengan:
Ep = energi potensial (J)
m = massa benda (kg)
g = konstanta gravitasi (m/s2)
h = ketinggian (m)

b. Energi Kinetik
Suatu ketika, ada seorang pelaut malang yang terdampar di pulau kecil. Dia berpikir hanya dengan tiga cara dia dapat mencari bantuan. Pertama, dia dapat menerbangkan layang-layang dan berharap ada kapal yang melihat layang-layang tersebut. Kedua, dia menyimpan pesan dalam botol dan membiarkannya mengapung di atas air sampai ada orang yang menemukannya. Ketiga, dia membuat rakit untuk mencoba pergi dari pulau itu.

Gagasan pelaut itu bergantung pada satu jenis energi yang bekerja, yaitu energi akibat gerakan angin yang akan membuat layangan dapat mengapung, botol dapat bergerak dibawa ombak, dan rakit dapat melaju. Sesuatu yang bergerak, misalnya angin dan air, memiliki kemampuan yang dapat digunakan untuk menarik atau mendorong sesuatu.

Energi yang dimiliki oleh benda yang bergerak disebut energi kinetik. Kamu pun memiliki energi kinetik apabila bergerak. Ketika kamu menaiki sepeda dengan laju yang besar, tiba-tiba dihadapanmu terdapat batu besar yang menghalangi jalan. Tanpa ragu-ragu, kamu akan segera mengerem sepedamu. Sesaat badanmu terhentak sampai akhirnya berhenti. Hentakan yang kamu rasakan pada saat mengerem sepedamu itu disebut energi kinetik. Jika kamu mengajak temanmu menaiki sepeda tersebut, tentu kamu akan lebih keras lagi mengerem sepedamu. Oleh karena massa orang yang menaiki sepeda lebih besar dari sebelumnya, dapat diambil kesimpulan bahwa energi kinetik bergantung pada massa benda dan kecepatan benda tersebut. Secara matematis, energi kinetik suatu benda dapat ditulis sebagai berikut: Ek = ½ mv dengan:
Ek = energi kinetik (J)
m = massa (kg)
v = kecepatan (m/s)

C. Perubahan Bentuk-Bentuk Energi
Energi tidak dapat diciptakan dan juga tidak dapat dimusnahkan, tetapi hanya dapat diubah dari satu bentuk ke bentuk yang lain. Pada umumnya, manfaat energi akan terlihat setelah berubah bentuk menjadi energi yang lain. Misalnya, energi listrik akan bermanfaat ketika berubah bentuk menjadi energi cahaya atau panas.

Matahari sebagai sumber energi terbesar yang diciptakan Tuhan telah mengalami beberapa perubahan bentuk energi yang sangat bermanfaat bagi kehidupan umat manusia. Misalnya, energi panas dan energi cahaya matahari menyinari tumbuhan sehingga tumbuhan dapat melakukan fotosintesis. Dengan demikian, tumbuhan memiliki energi kimia. Tumbuhan dimakan manusia atau hewan sehingga manusia atau tumbuhan memiliki energi untuk melakukan usaha.

Energi dapat diubah dari satu bentuk energi ke bentuk energi yang lain. Energi kimia yang terkandung dalam batu baterai dapat mengalirkan muatan listrik jika dihubungkan dengan kabel. Jika aliran listrik tersebut melalui sebuah lampu, lampu akan menyala dan lama kelamaan lampu menjadi panas. Pada peristiwa tersebut, telah terjadi beberapa perubahan energi, antara lain energi kimia, energi listrik, energi cahaya, dan energi panas. Ketika kedua telapak tanganmu digosok-gosokkan, lama-kelamaan telapak tanganmu akan terasa panas. Hal ini menunjukkan bahwa pada telapak tanganmu telah terjadi perubahan energi dari energi gerak menjadi energi panas.

D. Hukum Kekekalan Energi
Berasal dari manakah energi yang kamu gunakan untuk melakukan kegiatan sehari-hari? Berubah menjadi energi apakah yang telah kamu gunakan tersebut? Apakah manusia dapat membuat mesin yang dapat melakukan kerja terus menerus tanpa menggunakan bahan bakar? Pertanyaan-pertanyaan tersebut merupakan beberapa pertanyaan yang berhubungan dengan energi yang mungkin sering kamu tanyakan pada dirimu sendiri.

Coba kamu lemparkan sebuah bola vertikal ke atas dan amati sampai jatuh lagi ke lantai. Ketika bola bergerak ke atas, kecepatan bola semakin lama semakin melambat dan ketinggian bola semakin besar. Pada ketinggian tertentu, bola berhenti sesaat dan kembali lagi ke bawah dengan kecepatan yang semakin besar. Peristiwa tersebut menunjukkan bahwa energi gerak semakin lama semakin kecil sampai menjadi nol ketika berhenti sesaat pada ketinggian tertentu. Ke manakah energi gerak tersebut?

Energi gerak (Ek) tersebut ternyata berubah menjadi energi potensial gravitasi (Ep) sampai akhirnya mencapai maksimum. Begitu pula sebaliknya, energi potensial gravitasi semakin kecil ketika bola tersebut bergerak ke bawah. Adapun energi geraknya semakin besar dan mencapai maksimum ketika sampai di lantai, tetapi energi potensial gravitasinya menjadi nol ketika sampai di lantai. Setelah diam di lantai, semua energi mekanik benda habis. Tahukah kamu, kemana perginya? Apakah yang dapat kamu simpulkan? Adakah energi yang hilang?

Kegiatan tersebut menunjukkan bahwa energi bersifat kekal. Energi tidak dapat diciptakan dan tidak dapat dimusnahkan, tetapi dapat diubah dari satu bentuk energi menjadi bentuk energi yang lain. Pernyataan tersebut dikenal dengan Hukum Kekekalan Energi. Telah kamu ketahui bahwa energi mekanik merupakan penjumlahan dari energi potensial dan energi kinetik: Em = Ep + Ek

Apabila benda selama bergerak naik dan turun hanya dipengaruhi oleh gaya gravitasi, besar energi mekanik selalu tetap. Dengan kata lain, jumlah energi potensial dan energi kinetik selalu tetap. Pernyataan itu disebut Hukum Kekekalan Energi Mekanik.

E. Usaha
Dalam kehidupan sehari-hari, pengertian usaha identik dengan kemampuan untuk meraih sesuatu. Misalnya, usaha untuk bisa naik kelas atau usaha untuk mendapatkan nilai yang besar. Namun, apakah pengertian usaha menurut ilmu Fisika?

Ketika benda didorong ada yang berpindah tempat dan ada pula yang tetap di tempatnya. Ketika kamu mendorong atau menarik suatu benda, berarti kamu telah memberikan gaya pada benda tersebut. Oleh karena itu, usaha sangat dipengaruhi oleh dorongan atau tarikan (gaya). Menurut informasi tersebut, jika setelah didorong benda itu tidak berpindah, gayamu tidak melakukan usaha. Dengan kata lain, usaha juga dipengaruhi oleh perpindahan. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa usaha dihasilkan oleh gaya yang dikerjakan pada suatu benda sehingga benda itu berpindah tempat.

Bagaimanakah ketika kamu mendorong dinding kelasmu? Apakah dinding berpindah tempat? Walaupun kamu telah sekuat tenaga mendorongnya, tetapi dinding tetap ditempatnya. Oleh sebab itu, menurut Fisika gayamu dikatakan tidak melakukan usaha.

Apabila gaya disimbolkan dengan F dan perpindahan dengan s, secara matematis usaha dituliskan dalam persamaan berikut: W = F s dengan:
W = usaha (J)
F = gaya (N)
s = perpindahan (m)

Usaha memiliki satuan yang sama dengan energi, yaitu joule. Dengan ketentuan bahwa 1 joule sama dengan besar usaha yang dilakukan oleh gaya sebesar 1 N dengan perpindahan 1 m.

Kamu sudah mengetahui usaha yang dilakukan untuk memindahkan sebuah benda ke arah horisontal, tetapi bagaimanakah besarnya usaha yang dilakukan untuk memindahkan sebuah benda ke arah vertikal? Memindahkan benda secara vertikal memerlukan gaya minimal untuk mengatasi gaya gravitasi bumi yang besarnya sama dengan berat suatu benda. Secara matematis gaya tersebut dapat ditulis sebagai berikut: F = m g

Karena perpindahan benda ke arah vertikal sama dengan ketinggian benda (h), usaha yang dilakukan terhadap benda tersebut sebagai berikut.
W = F s
W = m g h dengan:
W = usaha (J)
m = massa (kg)
g = percepatan gravitasi (N/kg)
h = perpindahan atau ketinggian (m)

F. Hubungan antara Usaha dan Energi
Kamu sudah mengetahui bahwa energi adalah kemampuan melakukan usaha. Definisi tersebut menunjukkan bahwa usaha memiliki kaitan yang erat dengan energi.

Ketika gayamu berusaha mendorong mobil sehingga bergerak, berarti telah terjadi perubahan energi dari energi yang dikeluarkan olehmu menjadi energi gerak. Jadi, dapat disimpulkan bahwa ketika gaya melakukan usaha pada sebuah benda maka akan terjadi perubahan energi pada benda tersebut. Usaha yang dilakukan pada sebuah benda yang bergerak horisontal menyebabkan perubahan energi kinetik. Dengan demikian, besarnya usaha sama dengan perubahan energi kinetik benda. Secara matematis ditulis sebagai berikut.
W = Δ Ek
W = Ek2 – Ek1 dengan:
W = usaha (J)
Ek = perubahan energi kinetik (J)
Ek2 = energi kinetik akhir (J)
Ek1 = energi kinetik awal (J)

Ketika kamu mengangkat sebuah balok, kamu akan memberikan gaya dorong terhadap balok. Pada saat ke atas, berlaku:
Wtangan = Ftangan . s = m g h

Saat ke bawah:
Wgravitasi = Fgravitasi . s = –m g h
Usaha yang dilakukan oleh gaya gravitasi bumi (benda yang bergerak vertikal) sama dengan perubahan energi potensial gravitasi. Secara matematis ditulis sebagai berikut.
W = Δ Ep
W = Ep2 – Ep1
W = m g (h2 – h1) dengan:
W = usaha (J)
ΔEp = perubahan energi potensial (J)
Ep1 = energi potensial awal (J)
Ep2 = energi potensial akhir (J)

BESARAN & SATUAN

Kegiatan yang berhubungan dengan pengukuran sering kita temukan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya di pasar. Sebagai contoh, pedagang sembako dan sayur menimbang massa barang sembako dan sayur untuk dijual secara eceran, pedagang kain mengukur panjang dan lebar kain dengan meteran kain, serta pembeli sepulang dari pasar melihat jamnya untuk memperkirakan waktu kedatangan angkutan umum. Massa, panjang, dan waktu termasuk besaran fisika. Karena dalam kehidupan sehari-hari banyak terdapat kegiatan yang berhubungan dengan pengukuran besaran fisika, maka sangatlah penting bagi kalian untuk mempelajari pengukuran tersebut secara baik. Dapatkah kalian melakukan pengukuran secara benar dan teliti? Sudahkah kalian menjaga keselamatan kerja ketika melakukan pengukuran?

Fisika merupakan ilmu pengetahuan yang mempunyai pengaruh besar terhadap perkembangan ilmu pengetahuan yang lainnya, misalnya teknologi elektronika, teknologi informasi, dan teknologi alat ukur. Hal ini disebabkan di dalam fisika mengandung prinsip-prinsip dasar mengenai gejala-gejala alam yang ada di sekitar kita. Fenomena dan gejala-gejala alam tersebut meliputi besaran-besaran fisika di antaranya: gerak, cahaya, kalor, listrik, dan energi.

Penerapan besaran-besaran fisika dalam aktivitas kegiatan sehari-hari senantiasa berkaitan dengan pengamatan dan pengukuran. Sebagai contoh, informasi kecepatan gerak pesawat terbang bagi seorang pilot berguna untuk mengoperasikan pesawat yang dikendalikannya. Besarnya suhu badan kita merupakan informasi untuk mengetahui apakah badan kita sehat atau tidak. Sepatu dan pakaian yang kita gunakan mempunyai ukuran tertentu. Melihat betapa pentingnya pengukuran besaran fisika, maka di dalam bab ini akan dipelajari pengertian besaran fisika, pengukuran besaran fisika yang meliputi massa, panjang, waktu, dan suhu serta konversi satuannya.

Pengertian Besaran Fisika, Besaran Pokok, dan Besaran Turunan
Berapakah tinggi dan berat badanmu? Tentu saja kamu dapat mengukur secara langsung tinggi badanmu dengan alat ukur meteran pita, misalnya 165 cm. Bagaimana dengan berat badanmu? Di dalam pembicaraan kita sehari-hari yang dimaksud dengan berat badan adalah massa, sedangkan dalam fisika pengertian berat dan massa berbeda. Berat badan dapat kita tentukan dengan menggunakan alat timbangan berat badan. Misalnya, setelah ditimbang berat badanmu 50 kg atau dalam fisika bermassa 50 kg. Tinggi atau panjang dan massa adalah sesuatu yang dapat kita ukur dan dapat kita nyatakan dengan angka dan satuan. Panjang dan massa merupakan besaran fisika. Jadi, besaran fisika adalah ukuran fisis suatu benda yang dinyatakan secara kuantitas.

Selain besaran fisika juga terdapat besaran-besaran yang bukan besaran fisika, misalnya perasaan sedih, gembira, dan lelah. Karena perasaan tidak dapat diukur dan tidak dapat dinyatakan dengan angka dan satuan, maka perasaan bukan besaran fisika.

Besaran fisika dikelompokkan menjadi dua, yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Besaran pokok adalah besaran yang sudah ditetapkan terlebih dahulu. Adapun, besaran turunan merupakan
besaran yang dijabarkan dari besaran-besaran pokok. Sistem satuan besaran fisika pada prinsipnya bersifat standar atau baku, yaitu bersifat tetap, berlaku universal, dan mudah
digunakan setiap saat dengan tepat. Sistem satuan standar ditetapkan pada tahun 1960 melalui pertemuan para ilmuwan di Sevres, Paris. Sistem satuan yang digunakan dalam dunia pendidikan dan pengetahuan dinamakan sistem metrik, yang dikelompokkan menjadi sistem metrik besar atau MKS (Meter Kilogram Second) yang disebut sistem internasional atau disingkat SI dan sistem metrik kecil atau CGS (Centimeter Gram Second). Besaran pokok beserta dengan satuannya dapat dilihat dalam tabel berikut:

Besaran turunan dengan satuannya dapat dilihat dalam tabel berikut:

INTEGRAL

Pernahkah kalian melihat baling-baling pesawat? Bagaimanakah bentuknya? Ketika pesawat hendak mengudara, baling-baling pesawat akan berputar dengan kecepatan tinggi. Bagaimanakah bentuk baling-baling itu saat berputar? Saat baling-baling berputar, kalian akan mengamati sebuah bentuk seperti lingkaran. Dapatkah kalian mengetahui luas lingkaran yang terbentuk dari perputaran baling-baling itu? Dengan menggunakan integral, kalian akan dapat mengetahuinya.

A. KONSEP TURUNAN
Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.



B. INTEGRAL TAK TENTU

Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.




1. Aturan Integral Substitusi
Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari.
2. Aturan Integral Substitusi Trigonometri

SEMANGAT AWAL KEBERHASILAN

 

















PUNCAK GUNUNG MEMANG TINGGI



TAPI 



   


MATAKAKIMU BISA LEBIH TINGGI


 



















JIKA KAMU MAU MENDAKI



 

"SEMANGATMU AWAL SUKSESMU"

MENYAJIKAN DATA DALAM BENTUK TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI

Selain dalam bentuk diagram, penyajian data juga dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi. Berikut ini akan dipelajari lebih jelas mengenai tabel distribusi frekuensi tersebut.
1. Distribusi Frekuensi Tunggal
Data tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan, namun kadangkala dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi tunggal merupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit. Perhatikan contoh data berikut.
5, 4, 6, 7, 8, 8, 6, 4, 8, 6, 4, 6, 6, 7, 5, 5, 3, 4, 6, 6
8, 7, 8, 7, 5, 4, 9, 10, 5, 6, 7, 6, 4, 5, 7, 7, 4, 8, 7, 6


2. Distribusi Frekuensi Bergolong
Tabel distribusi frekuensi bergolong biasa digunakan untuk menyusun data yang memiliki kuantitas yang besar dengan mengelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang. Perhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas Matematika dari 40 siswa kelas XI berikut ini.
66 75 74 72 79 78 75 75 79 71
75 76 74 73 71 72 74 74 71 70
74 77 73 73 70 74 72 72 80 70
73 67 72 72 75 74 74 68 69 80
Apabila data di atas dibuat dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi tunggal, maka penyelesaiannya akan panjang sekali. Oleh karena itu dibuat tabel distribusi frekuensi bergolong dengan langkah-langkah sebagai berikut.
a. Mengelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang, misalnya 65 – 67, 68 – 70, … , 80 – 82. Data 66 masuk dalam kelompok 65 – 67.
b. Membuat turus (tally), untuk menentukan sebuah nilai termasuk ke dalam kelas yang mana.
c. Menghitung banyaknya turus pada setiap kelas, kemudian menuliskan banyaknya turus pada setiap kelas sebagai frekuensi data kelas tersebut. Tulis dalam kolom frekuensi.
d. Ketiga langkah di atas direpresentasikan pada tabel berikut ini.

Istilah-istilah yang banyak digunakan dalam pembahasan distribusi frekuensi bergolong atau distribusi frekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut.
a. Interval Kelas
Tiap-tiap kelompok disebut interval kelas atau sering disebut interval atau kelas saja. Dalam contoh sebelumnya memuat enam interval ini.
65 – 67 → Interval kelas pertama
68 – 70 → Interval kelas kedua
71 – 73 → Interval kelas ketiga
74 – 76 → Interval kelas keempat
77 – 79 → Interval kelas kelima
80 – 82 → Interval kelas keenam
b. Batas Kelas
Berdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas, angka 65, 68, 71, 74, 77, dan 80 merupakan batas bawah dari tiap-tiap kelas, sedangkan angka 67, 70, 73, 76, 79, dan 82 merupakan batas atas dari tiap-tiap kelas.
c. Tepi Kelas (Batas Nyata Kelas)
Untuk mencari tepi kelas dapat dipakai rumus berikut ini.
Tepi bawah = batas bawah – 0,5
Tepi atas = batas atas + 0,5
Dari tabel di atas maka tepi bawah kelas pertama 64,5 dan tepi atasnya 67,5, tepi bawah kelas kedua 67,5 dan tepi atasnya 70,5 dan seterusnya.
d. Lebar kelas
Untuk mencari lebar kelas dapat dipakai rumus:
Lebar kelas = tepi atas – tepi bawah
Jadi, lebar kelas dari tabel diatas adalah 67,5 – 64,5 = 3.
e. Titik Tengah

3. Distribusi Frekuensi Kumulatif
Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut.
a. Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).
b. Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh data berikut ini.

4. Histogram
Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit. Histogram dapat disajikan dari distribusi frekuensi tunggal maupun distribusi frekuensi bergolong. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Data banyaknya siswa kelas XI IPA yang tidak masuk sekolah dalam 8 hari berurutan sebagai berikut.

5. Poligon Frekuensi
Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batang-batangnya
dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.

6. Poligon Frekuensi Kumulatif
Dari distribusi frekuensi kumulatif dapat dibuat grafik garis yang disebut poligon frekuensi kumulatif. Jika poligon frekuensi kumulatif dihaluskan, diperoleh kurva yang disebut kurva ogive. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.


b. Ogive naik dan ogive turun
Daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari dapat disajikan dalam bidang Cartesius. Tepi atas (67,5; 70,5; …; 82,5) atau tepi bawah (64,5; 67,5; …; 79,5) diletakkan pada sumbu X sedangkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari diletakkan pada sumbu Y. Apabila titik-titik yang diperlukan dihubungkan, maka terbentuk kurva yang disebut ogive. Ada dua macam ogive, yaitu ogive naik dan ogive turun. Ogive naik apabila grafik disusun berdasarkan distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Sedangkan ogive turun apabila berdasarkan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari. Ogive naik dan ogive turun data di atas adalah sebagai berikut.

MENYAJIKAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM

1. Diagram Garis
Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan. Sumbu X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik garis.


2. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagianbagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.


3. Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah.
Contoh soal

4. Diagram Batang Daun
Diagram batang daun dapat diajukan sebagai contoh penyebaran data. Dalam diagram batang daun, data yang terkumpul diurutkan lebih dulu dari data ukuran terkecil sampai dengan ukuran yang terbesar. Diagram ini terdiri dari dua bagian, yaitu batang dan daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan.
Contoh soal
Buatlah diagram batang-daun dari data berikut.
45 10 20 31 48 20 29 27 11 8
25 21 42 24 22 36 33 22 23 13
34 29 25 39 32 38 50 5

5. Diagram Kotak Garis
Data statistik yang dipakai untuk menggambarkan diagram kotak garis adalah statistik Lima Serangkai, yang terdiri dari data ekstrim (data terkecil dan data terbesar), Q1, Q2, dan Q3.

STATISTIKA

Statistika adalah cabang dari matematika terapan yang mempunyai cara-cara, maksudnya mengkaji/membahas, mengumpulkan, dan menyusun data, mengolah dan menganalisis data, serta menyajikan data dalam bentuk kurva atau diagram, menarik kesimpulan, menafsirkan parameter, dan menguji hipotesa yang didasarkan pada hasil pengolahan data. Contoh: statistik jumlah lulusan siswa SMA dari tahun ke tahun, statistik jumlah kendaraan yang melewati suatu jalan, statistik perdagangan antara negara-negara di Asia, dan sebagainya.

1. Menyajikan Data Dalam Bentuk Diagram
2. Menyajikan Data Dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi
3. Menghitung Ukuran Pemusatan, Letak, dan Penyebaran Data

SOAL-SOAL KIMIA SMA

Buat adik-adik yang duduk di bangku SMA, silahkan download latihan soal-soal Kimia berikut:

- Kim Kelas X -
MATERI & PERSEN MASSA
STRUKTUR ATOM
SISTEM PERIODIK UNSUR
IKATAN KIMIA
TATA NAMA SENYAWA
HUKUM DASAR KIMIA
RUMUS HIDRAT & PEREAKSI PEMBATAS
STOIKIOMETRI
REDOKS
KIMIA KARBON

- Kim Kelas XI -
STRUKTUR ATOM & SPU
LAJU REAKSI
TERMOKIMIA
HUKUM HESS
KESETIMBANGAN
KONSENTRASI LARUTAN
STOIKIOMETRI LARUTAN
LARUTAN PENYANGGA / BUFFER
HIDROLISIS GARAM
PH LARUTAN

- Kim Kelas XII -
SIFAT KOLIGATIF LARUTAN
REDOKS
ELEKTROKIMIA
TATA NAMA SENYAWA KARBON
REAKSI SENYAWA KARBON
RADIOAKTIF

SOAL-SOAL FISIKA SMA

Buat adik-adik yang duduk di bangku SMA, silahkan download latihan soal-soal Fisika berikut:

- Fis Kelas X -
ANGKA-ANGKA PENTING
PENGUKURAN & KETIDAKPASTIAN
VEKTOR
GLB & GLBB
GJB & GVA
GERAK PARABOLA
GMB & GMBB
DINAMIKA
SUHU & PEMUAIAN
KALOR
PERPINDAHAN KALOR
CERMIN
PEMBIASAN
LENSA
ALAT OPTIK
LISTRIK DINAMIS

- Fis Kelas XI -
PERSAMAAN GERAK
HUKUM NEWTON
GRAVITASI
GERAK HARMONIK SEDERHANA
ELASTISITAS
USAHA & ENERGI
IMPULS & MOMENTUM
GERAK ROTASI
KESEIMBANGAN BENDA TEGAR
FLUIDA
TEORI KINETIK GAS
TERMODINAMIKA

- Fis Kelas XII -
GELOMBANG MEKANIS
LISTRIK STATIK
KAPASITOR
MEDAN MAGNET
INDUKSI ELEKTROMAGNET
RANGKAIAN ARUS BOLAK BALIK
BENDA HITAM
GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
RELATIVITAS
RADIOAKTIFITAS
OPTIKA FISIS

SOAL-SOAL MATEMATIKA SMA

Buat adik-adik yang duduk di bangku SMA, silahkan download latihan soal-soal Matematika berikut:

- Mat Kelas X -
BENTUK AKAR
LOGARITMA
PERSAMAAN KUADRAT
FUNGSI KUADRAT
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
LOGIKA
DIMENSI TIGA
TRIGONOMETRI DASAR

- Mat Kelas XI -
TRIGONOMETRI
STATISTIKA
PELUANG
SUKU BANYAK
LINGKARAN
FUNGSI
LIMIT
TURUNAN
APLIKASI TURUNAN

- Mat Kelas XII -
INTEGRAL
APLIKASI INTEGRAL
BARIS & DERET
NOTASI SIGMA
EKSPONEN & LOGARITMA
TRANSFORMASI
VEKTOR
MATRIKS
PROGRAM LINEAR
ELIPS DAN HIPERBOLA

Tag: Soal Matematika, Soal Matematika SMA, Soal Matematika kelas X, Soal Matematika kelas XI, Soal Matematika kelas XII, Soal Matematika SMP, Rumus Matematika SMA, Rumus Matematika SMP.

SOAL-SOAL KIMIA SMP

Buat adik-adik yang duduk di bangku SMP, silahkan download latihan soal-soal Kimia berikut:

- Kim SMP -
Asam, Basa, Garam
Lambang Unsur dan Rumus Kimia Sederhana
Unsur, Senyawa dan Campuran
Sifat Fisika dan Sifat Kimia
Pemisahan Campuran
Perubahan Fisika dan Perubahan Kimia
Reaksi Kimia
Atom, Ion, dan Molekul
Kadar Zat Dalam Campuran
Zat Aditif
Zat Adiktif

RUMUS KIMIA SMP

1. Asam, Basa, Garam
2. Lambang Unsur dan Rumus Kimia Sederhana
3. Unsur, Senyawa dan Campuran
4. Sifat Fisika dan Sifat Kimia
5. Pemisahan Campuran
6. Perubahan Fisika dan Perubahan Kimia
7. Reaksi Kimia
8. Atom, Ion, dan Molekul
9. Kadar Zat Dalam Campuran
10. Zat Aditif
11. Zat Adiktif

RUMUS FISIKA SMP

Fisika Kelas VII
1. Besaran, Satuan, dan Pengukuran
2. Zat dan Wujudnya
3. Gerak Lurus
4. Suhu dan Pemuaian
5. Kalor

Fisika Kelas VIII
1. Gaya dan Tekanan
2. Usaha dan Energi
3. Pesawat Sederhana
4. Getaran dan Gelombang
5. Bunyi
6. Cermin, Lensa dan Pembiasan
7. Alat Optik

Fisika Kelas IX
1. Listrik Statis
2. Rangkaian Listrik: Hukum Ohm
3. Energi Listrik
4. Induksi Elektromagnet
5. Tata Surya

RUMUS MATEMATIKA SMP

Matematika Kelas VII
1. Rumus Bilangan Bulat
2. Rumus Bilangan Pecahan
3. Rumus Aljabar
4. Rumus Sistem Persamaan Linear
5. Rumus Perbandingan
6. Rumus Aritmatika Sosial
7. Rumus Himpunan
8. Rumus Sudut dan Garis
9. Rumus Segitiga
10. Rumus Segiempat

Matematika Kelas VIII
1. Rumus Faktorisasi Aljabar
2. Rumus Persamaan Garis dan Gradien
3. Rumus Fungsi dan Pemetaan
4. Rumus Sistem Persamaan Linear
5. Rumus Phytagoras
6. Rumus Lingkaran
7. Rumus Garis Singgung
8. Rumus Bangun Ruang Sisi Datar

Matematika Kelas IX
1. Rumus Bangun Ruang Sisi Lengkung
2. Rumus Kesebangunan & Kongruensi
3. Rumus Statistika
4. Rumus Peluang
5. Rumus Persamaan Kuadrat
6. Rumus Eksponen
7. Rumus Deret

KESEBANGUNAN DAN KONGRUENSI

Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan cara mengidentifikasi bangun-bangun datar yang sebangun dan kongruen, mengidentifikasi sifat-sifat dua segitiga sebangun dan kongruen, serta menggunakan konsep kesebangunan segitiga dalam pemecahan masalah.

Dua bangun dikatakan sebangun jika
a. panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun tersebut memiliki perbandingan senilai
b. sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun tersebut sama besar.
2. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen.
3. Syarat dua segitiga sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding atau sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
4. Syarat dua segitiga kongruen:
a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s.s.s)
b. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s)
c. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang (sd.s.sd)
d. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di hadapannya sama panjang (sd.sd.s).

PEMBAGIAN ALJABAR

Kalian telah mempelajari penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan perpangkatan pada bentuk aljabar. Sekarang kalian akan mempelajari pembagian pada bentuk aljabar.
Telah kalian pelajari bahwa jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p x q dengan a, p, q bilangan bulat maka p dan q disebut faktor-faktor dari a. Hal tersebut berlaku pula pada bentuk aljabar.

Perhatikan uraian berikut:

Pada bentuk aljabar di atas, 2, x2, y, dan z2 adalah faktor-faktor dari 2x2yz2, sedangkan x3, y2, dan z adalah faktor-faktor dari bentuk aljabar x3y2z. Faktor sekutu (faktor yang sama) dari 2x2yz2 dan x3y2z adalah x2, y, dan z, sehingga diperoleh

Berdasarkan uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa jika dua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasil bagi kedua bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana. Dengan demikian, pada operasi pembagian bentuk aljabar kalian harus menentukan terlebih dahulu faktor sekutu kedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian.

PEMFAKTORAN ALJABAR

Di kelas VII kalian telah mempelajari materi mengenai KPK dan FPB. Pada materi tersebut kalian telah mempelajari cara menentukan kelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Coba ingat kembali cara menentukan faktor dari suatu bilangan. Ingat kembali bahwa faktorisasi prima dari suatu bilangan adalah perkalian faktor-faktor prima dari bilangan tersebut. Di bagian depan telah kalian pelajari bahwa sifat distributif a(x + y) dapat dinyatakan sebagai berikut: ax + ay = a(x + y)

Dari bentuk di atas, tampak bahwa bentuk penjumlahan dapat dinyatakan sebagai bentuk perkalian jika suku-suku dalam bentuk penjumlahan tersebut memiliki faktor yang sama. Dari bentuk ax + ay = a(x + y), a dan (x + y) merupakan faktor-faktor dari ax + ay. Proses menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian faktor-faktornya disebut pemfaktoran atau faktorisasi.

Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari bentuk aljabar tersebut. Sekarang, kalian akan mempelajari faktorisasi dari beberapa bentuk aljabar. Perhatikan uraian berikut:
1. Bentuk ax + ay + az + ... dan ax + bx – cx
Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku atau lebih dan memiliki faktor sekutu dapat difaktorkan dengan menggunakan sifat distributif.
ax + ay + az + ... = a(x + y + z + ...)
ax + bx – cx = x(a + b – c)
2. Bentuk Selisih Dua Kuadrat x2 – y2
Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku dan merupakan selisih dua kuadrat.
Dengan demikian, bentuk selisih dua kuadrat x2 – y2 dapat dinyatakan sebagai berikut:
x2 - y2= (x + y).(x - y)
3. Bentuk x2 + 2xy + y2 dan x2 – 2xy + y2
Untuk memfaktorkan bentuk aljabar x2 + 2xy + y2 dan x2 – 2xy + y2 perhatikan uraian berikut:
x2 + 2xy + y2 = (x + y) (x + y) = (x + y)2
x2 – 2xy + y2 = (x – y) (x – y) = (x – y)2
4. Bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x2 + bx + c dengan c positif sebagai berikut:
– Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b.
Contoh:
(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6 ........... (dihasilkan suku tiga)
Sebaliknya, bentuk suku tiga x2 + 5x + 6 apabila difaktorkan menjadi x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3). Perhatikan bahwa bentuk aljabar x2 + 5x + 6 memenuhi bentuk x2 + bx + c.

Berdasarkan pengerjaan di atas, ternyata untuk memfaktorkan bentuk x2 + bx + c dilakukan dengan cara mencari dua bilangan real yang hasil kalinya sama dengan c dan jumlahnya sama dengan b. Misalkan x2 + bx + c sama dengan (x + m) (x + n).
x2 + bx + c = (x + m) (x + n) = x2 + mx + nx + mn = x2 + (m + n)x + mn

PERPANGKATAN ALJABAR

Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalian berulang dengan unsur yang sama. Sekarang kalian akan mempelajari operasi perpangkatan pada bentuk aljabar.

Pada perpangkatan bentuk aljabar suku satu, perlu diperhatikan perbedaan antara 3x2, (3x)2, –(3x)2, dan (–3x)2 sebagai berikut.
a. 3x2 = 3.x.x = 3x2
b. (3x)2 = (3x).(3x) = 9x2
c. –(3x)2 = –((3x).(3x)) = –9x2
d. (–3x)2 = (–3x).(–3x) = 9x2
Untuk menentukan perpangkatan pada bentuk aljabar suku dua, perhatikan uraian berikut.
(a + b)1 = a + b
koefisien a dan b adalah 1 1
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
koefisien a2, ab, dan b2 adalah 1 2 1
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2 = (a + b) (a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
koefisien a3, a2b, ab2 dan b3 adalah 1 3 3 1
(a + b)4 = (a + b)2 (a + b)2 = (a2 + 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2) = a4 + 2a3b + a2b2 + 2a3b + 4a2b2 + 2ab3 + a2b2 + 2ab3 + b4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
koefisien a4, a3b, a2b2, ab3, dan b4 adalah 1 4 6 4 1

Demikian seterusnya untuk (a + b)n dengan n bilangan asli. Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan koefisien-koefisien (a + b)n membentuk barisan segitiga Pascal seperti berikut.

Pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dari an kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1 pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bn pada suku ke-(n + 1).

PERKALIAN ALJABAR

a. Perkalian suatu bilangan dengan bentuk aljabar
Coba kalian ingat kembali sifat distributif pada bilangan bulat. Jika a, b, dan c bilangan bulat maka berlaku a(b + c) = ab + ac. Sifat distributif ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan operasi perkalian pada bentuk aljabar.
Perkalian suku dua (ax + b) dengan skalar/bilangan k dinyatakan sebagai berikut.
k(ax + b) = kax + kb

b. Perkalian antara bentuk aljabar dan bentuk aljabar
Telah kalian pelajari bahwa perkalian antara bilangan skalar k dengan suku dua (ax + b) adalah k (ax + b) = kax + kb. Dengan memanfaatkan sifat distributif pula, perkalian antara bentuk
aljabar suku dua (ax + b) dengan suku dua (ax + d) diperoleh sebagai berikut.
(ax + b) (cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d)
= ax(cx) + ax(d) + b(cx) + bd
= acx2 + (ad + bc)x + bd

Sifat distributif dapat pula digunakan pada perkalian suku dua dan suku tiga.
(ax + b) (cx2 + dx + e) = ax(cx2) + ax(dx) + ax(e) + b(cx2) + b(dx) + b(e)
= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be
= acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be